Применение теории возмущений к уравнениям лучевых траекторий

1.2 Применение теории возмущений к задаче о траекториях

Принципиальной причиной сложного поведения нижнегибридных волн в тороидальной геометрии является изменение $k_\parallel$ вдоль траектории. Грубо говоря, $k_\parallel$ определяется выражением $k_\parallel\ = (m+nq)/Rq$, где m и n тороидальиое волновые числа, R - расстояние до оси симметрии, q - запас устойчивости. Это выражение, справедливое для плазмы с круглым сечением магнитных поверхностей, легко получается из (1.6), если положить в нем $\Delta = \Delta' = 0, \lambda = 1, \gamma =0$. При этом $k_2=m, k_3=n$. Поэтому в дальнейшем, для наглядности, мы будем использовать обозначения m и n вместо $k_2$ и $k_3$.

Тороидальное волновое число $n$ является константой движения, в то время как $m$, $R$ и $q$ могут изменяться вдоль траектории. Поскольку $R$ и $q$ - известные функции координат, главная проблема заключается в эволюции полоидального импульса $m$. Причиной несохранения $m$ является полоидальная неоднородность системы. Так, в цилиндрической плазме (то есть когда $R$ - постоянно, а магнитные поверхности имеют форму центрированных окружностей) гамильтониан $H$ не зависит от $\theta$ и $m$ является константой движения. Факторами, определяющими несохранение m являются тороидальность, которая характеризуется обратным аспектным отношением $\varepsilon = a/R_0$ и некруговая форма магнитных поверхностей, которая в трехмоментном приближении задается функциями $\Delta, \lambda \: и \: \gamma$. Мы будем в дальнейшем принебрегать треугольностью $\gamma$, поскольку известно, что она не оказывает существенного влияния на поведение траекторий [78], хотя принципиально не составляет большой сложности учитывать любое число гармоник в разложении магнитной поверхности.

В качестве первого шага выглядит естественным считать эти факторы малыми и рассматривать их как возмущение в уравнениях лучевых траекторий. Формально это означает, что мы полагаем $\varepsilon, \Delta/a, \Lambda = \lambda-1 \ll 1$, для удобства мы будем характеризовать их одним малым параметром $\varepsilon \ll 1$. Гамильтоновская функция $H$ после подстановки в нее выражений (1 -6), (1.7) для $k_\perp$ и $k_\parallel$ является функцией компонент метрического тензора $\hat{G}$ и тензора диэлектрической проницаемости $\hat{K}$. Компоненты $\hat{G}$ могут быть разложены по $\varepsilon$, что дает: $g_{ik}=g^0_{ik}(\rho) + g^1_{ik}(\rho, \theta)$, где $g^0_{ik}$ диагональный тензор с ненулевыми компонентами $g^0_{11} = 1$, $g^0_{22} = \rho^2$, $g^0_{22} = R^2_0$ и $g^1 \sim \varepsilon$. Аналогичным образом могут быть разложены и компоненты $\hat{K}$. Подставляя эти разложения в уравнение (1.3) и сохраняя члены нулевого и первого порядка по $\varepsilon$ получим $$H_0(\rho, m, k_1) + H_1(\rho, \theta, m, k_1) = 0 \: \tag{1.9}$$ где $H_0$ совпадает с гамильтоновской функцией цилиндрического приближения, а зависящий от угла член $H_1$ мал - $H_1 \sim \varepsilon$.

Для того, чтобы вычислить изменение m вдоль траектории удобно представить лучевые траектории в такой форме, чтобы $\rho$ являлось независимой переменной. Эта цель может быть достигнута, если решить уравнение (1.9) относительно импульса $k_1$ и найти $k_1 = P^\alpha(\rho, m, \theta)$ где $\alpha$ определяет номер корня дисперсионного уравнения (1.9). Тогда m и $\theta$ удовлетворяют каноническим уравнениям:

$$\frac{dm}{d\rho} = \frac{dP^\alpha}{d\theta}, \: \frac{d\theta}{d\rho} = - \frac{dP^\alpha}{dm} \tag{1.10}$$

В зависимости от п и m уравнение (1.9) может иметь 2 или 4 действительных корня. Два из них описывают медленные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, другая пара, если она существует, относится к быстрой моде. Уравнения (1.10) определяют траекторию междду точками пересечения корней Ра. Эти точки являются точками поворота траектории и соответствуют отражению, если оба корня относятся к одной моде и трансформации, если к разным. В дальнейшем мы для простоты записи будем опускать индекс $\alpha$, подразумевая, что подход справедлив для обеих мод.

Новый гамильтониан Р также может быть разложен по $\varepsilon$ - $P = P_0(\rho, m) + P_1(\rho, m, \theta)$, где $P_1 \sim \varepsilon$. Функция $P_1$ периодична по полоидальному углу 0 и ее можно разложить в ряд Фурье: $P_1 = \sum f_p(\rho, m) \cos{\rho \theta}$. При этом вклад тороидальности пропорционален оов0 и входит в первую гармонику, остальные слагаемые связаны с некруговой формой магнитных поверхностей. Поскольку в Фурье разложение уравнения магнитной поверхности мы ограничились двумя слагаемыми (пропорциональными смещению и эллиптичности), то и в разложение $P$ с точностью до $\varepsilon$ может быть оставлено два слагаемых.

Решение системы (1.10) мы будем осуществлять последовательными приближениями по параметру порядке по этому параметру $\varepsilon$. В нулевом порядке по этому параметру мы имеем

$$m = m_0,\: \theta(\rho)= \theta_0 + \Omega(\rho) \:,$$

где $$\Omega(\rho)= \frac{\partial}{\partial m} \int_{\rho}^{\rho_0} P_0(\rho', m) \, d\rho',$$ а $m_0, \theta_0, \rho_0$ - начальные значения переменных.

Теперь, действуя по теории возмущений и учитывая, что изменение m является величиной порядка $\varepsilon$, мы можем при его вычислении считать m постоянным , а $\theta(\rho)$ - взятым в нулевом приближении. Тогда, в первом поряке по $\varepsilon$ получим:

$$m(\rho) =m_0 \frac{\partial}{\partial \theta_0} \int_{\rho}^{\rho_0} P(\rho', m_0, \theta_0 + \Omega(\rho', m_0)) \,d\rho' \tag{1.11}$$

Это выражение, вообще говоря, и есть итог непосредственного применения теории возмущений. Естественно, оно справедливо при $\varepsilon \sim 1$; в следующем параграфе мы попытаемся "улучшить" его, расширив диапазон допустимых значений $\varepsilon$. Однако сперва используем описанный подход для того, чтобы получить явную формулу для изменения $N_\parallel$ между периферийной точкой запуска и первой точкой поворота траектории в эллиптическом токамаке. Мы будем рассматривать медленную волну, предполагая для начала, что она не испытывает на первом проходе трансформации в быструю моду. В этом случае можно использовать электростатическое дисперсионное уравнение: $$H = \varepsilon_\perp k^2_\perp + \eta k^2_\parallel \tag{1.12}$$ Вообще говоря электростатическое приближение применимо при $N_\parallel \gg 1\$, но оказывается, что оно дает удовлетворительные результаты вплоть до значений $N_\parallel \$, соответствующих трансформации быстрой и медленной волн. Кроме того, в рамках этого приближения можно определить, произойдет на самом деле трансформация или нет. Введем для удобства новые переменные, обозначив $\rho/a \rightarrow \rho$, $m/n \rightarrow \mu$, $P/n \rightarrow P$. Подставляя уравнения (1.6), (1.7) для $k_\perp$ и $k_\parallel$ электростатическое дисперсионное уравнение (1.12), получим квадратное уравнение для $n_\rho$. Решая его относительно $n_\rho$ в первом порядке по $\varepsilon$ имеем $$\begin{equation} \begin{aligned} &P = \pm P_0 + P_1 \\ &P_0(\mu, \rho) = \sqrt{\Phi(\rho)(\mu+q)^2-\mu^2/\rho^2} \\ &P_1(\mu, \rho, \theta) = g_{12} \mu \pm \{\Phi(q + \mu)[q(g^1_{11}-g^1_{33})-\mu g^1_{22}] + \mu^2 g^1_{22}/\rho^2\}/2P_0 \end{aligned} \tag{1.13} \end{equation}$$

где $\Phi = - \eta/\varepsilon_\perp ( a/R_0 q)^2$ Знак ± здесь зависит от направления тороидального тока, тороидального магнитного поля и знака тороидального волнового числа, то есть от знака произведения $IB_\varphi n). Для линейных по \(\varepsilon$ составляющих компонент метрического тензора имеем из (1.4) : $$\begin{equation} \begin{aligned} g^1_{11} = \\ g^1_{22} = \\ g^1_{33} = \\ g_{12} = \end{aligned} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \left.\begin{aligned} B'&=-\partial \times E,\\ E'&=\partial \times B - 4\pi j, \end{aligned} \right\} \qquad \text{Maxwell's equations} \end{equation}$$

Для определенности будем считать, что частота волны ш в несколько раз превышает значение центральной нижнегибридной соответствующих трансформации быстрой и медленной волн. Кроме того, в рамках этого приближения можно определить, произойдет на самом деле трансформация или нет. Введем для удобства новые переменные, обозначив р/а-р, т/п-р. и Р/п-Р. Подставляя уравнения (1.6), (1.7) для к± и к электростатическое дисперсионное уравнение (1.12), получим квадратное уравнение для п0. Решая его относительно п_ в первом Г г порядке по 8 имеем р=±р0+р1 , РО(Ц,Р) = / Ф(р)(Ц+ч)2-|хг/рЙ (1.13) Р1 (p,p,6)= где ®=-'Q/eI(a/Roq)2. Знак ± здесь зависит от направления тороидального тока, тороидального магнитного поля и знака тороидального волнового числа, то есть от знака произведения (IB^n). Для линейных по 8 составляющих компонент метрического тензора имеем из (1.4) : g^ = -2Д' 0080+ (Лр)' (1 -00826) g,L= Л (1+00826) 22 (1.14) <33= 28роов6 g^ 2=Д'sin6+(Л+Л'р/2)в!п26 Для определенности будем считать, что частота волны ш в несколько раз превышает значение центральной нижнегибридной

соответствующих трансформации быстрой и медленной волн. Кроме того, в рамках этого приближения можно определить, произойдет на самом деле трансформация или нет. Введем для удобства новые переменные, обозначив р/а-р, т/п-р. и Р/п-Р. Подставляя уравнения (1.6), (1.7) для к± и к электростатическое дисперсионное уравнение (1.12), получим квадратное уравнение для п0. Решая его относительно п_ в первом Г г порядке по 8 имеем р=±р0+р1 , РО(Ц,Р) = / Ф(р)(Ц+ч)2-|хг/рЙ (1.13) Р1 (p,p,6)= где ®=-'Q/eI(a/Roq)2. Знак ± здесь зависит от направления тороидального тока, тороидального магнитного поля и знака тороидального волнового числа, то есть от знака произведения (IB^n). Для линейных по 8 составляющих компонент метрического тензора имеем из (1.4) : g^ = -2Д' 0080+ (Лр)' (1 -00826) g,L= Л (1+00826) 22 (1.14) <33= 28роов6 g^ 2=Д'sin6+(Л+Л'р/2)в!п26 Для определенности будем считать, что частота волны ш в несколько раз превышает значение центральной нижнегибридной

Тогда мы можем пренебречь зависимостью 8 от 0. Полагая начальное значение полоидального волнового числа ц.=0 (это справедливо для волн, запускаемых с помощью стандартного "грилла") и подставляя (1.13), (1.14) в (1.11) получим: Q(p)= f уф(р' )dp' ,

(A' +£p)coe(Q±Q)+(Ap)/cos(20±2Q) }dp (1.16) Ро Интегрирование здесь должно производиться между радиальными координатами точки запуска траектории р^ и точки ее первого поворота р°, которые могут быть определены в нулевом приближении из уравнения Ф=0. Уравнение (1.16) удобно представить в форме с амплитудой и фазой: Ц°- а1в1п(±0+ф1) + ^а?з1п(±20+Ф2) и, таким образом, задача нахождения сводится к простому интегрированию для определения а1, а2, Ф1, Ф2< По известному |4° глубина проникновения р° может быть пересчитана с лучшей точностью как меньший (на интервале [0,1]) корень уравнения: p0q(p0)v4(p°) ±|1 = ±
1 тр°/ Ф(р°)

Наконец изменение N дается выражением, следующим из (1.6):

AN ц =N|| (p,°/q (р° )+6оов0о)

В качестве конкретного примера рассмотрим конфигурацию с простыми модельными профилями: «(р)-чо(1+(а-1)р2) Ф(РМО ■■ 1-Р2-— 2 И-’9) [(1 + (Q-1 )Р2] А(р)=АаР2 • А(р).-Лар , где Q=q1/qQ, Ф(у=Ф(О). В этом случае интеграл (1.15) для □ легко берется после замены переменной интегрирования p=einT , что дает в результате П(р)= угр {ч^З arotg - т} (1.20)

Нужно отметить, что эта формула неверна при р=0, поскольку при этом члены с т-»0 дают в интеграл конечный вклад, который в данном случае равен тс. Мы в дальнейшем будем его игнорировать, поскольку он лишь отражает особенность полярной системы координат, когда изменеие угла вдоль траекторий, проходящих по разные стороны от центра, отличатся на 2ТС. Подставляя (1.20) в (1.16), после некоторых преобразований конечный результат для амплитуд и фаз можно выразить через две функции Тиф, зависящие от двух переменных Z=V^O/Q= V(-7]0/Ei0) a/qa и Q=Qa/Qo При этом a1«(A'+e)QI(z,Q), ао= Л QI(2z,Q), 1 а *- а (1.21) ф,=ф(г,О), ф2«ф(22,0) Функции I и ф могут быть представлены в виде: 1= /л^А? , ф=агсгё(А1/А2), где ТС/2 ,, A^ = f совх sin'x sintf dx ° (1.22) ТС/2 о A2=f совх sin x cos'O <ix zQ.-.— Q(x) , Q+1

графики этих функций показаны на рис.За»36. Кривые (1) и (3) на этих рисунках соответствуют предельным случаям Q=l и 0~<ю , таким образом кривая для любого конкретного профиля q находится между ними. Как следует из (1 .21 ), (1.22) при Q»1 функции Тиф становятся практически независимыми от этого параметра, так что уже при Q£3 о хорошей точностью можно пользоваться предельной кривой С ростом z функции Тиф достигают своих предельных